Enerji Tabanlı Yaklaşım ile Saçılma-Katlama Dinamiğinin Oluşturulması ve Kaos Üretecinin Tasarlanması
Tez Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Elektronik Mühendisliği, Türkiye
Tez Danışmanı: Neslihan Serap Şengör
Tezin Onay Tarihi: 2025
Özet:
Tezin amacı bir elektrik devresinde enerji kavramı yardımıyla kaosu açıklamak ya da bir elektrik devresindeki kaotik dinamiği başlatan enerji alış verişini inceleyerek kaotik devre tasarlamak için etkin bir yöntem önermektir.
Saçılma ve katlama, kayıplı kaotik sistemlerin iyi bilinen bir mekanizmasıdır. Enerji bakış açısı ile bakıldığında saçılma ve katlama mekanizmasının oluşturulabilmesi için enerjinin değiştirilebilmesinin sağlanması bir zorunluluktur. Bu tezin konusu enerji şekillendirme yoluyla kaos yaratacak bir saçılma ve katlanma mekanizması oluşturmanın mümkün olup olmadığı veya gelecekte bu amaca hizmet edecek bir anlayışa varmanın mümkün olup olmadığıdır.
Tezde bir LC tank devresinin kurulacak enerji alış verişi ile kaosa sokulmasının mümkün olup olmadığı incelenmiştir. Bu amaçla Chua devresi ele alınmıştır.
Chua devresinin kaos tarihinde büyük bir önemi vardır. Süreki dinamik sistemlerde kaos eldesi için en az 3 boyutlu bir sistem gereklidir. Chua devresi de kaos elde edilebilecek 3 boyutlu en basit elektrik devresidir. Chua devresi ilk önerildiği haliyle 5 eleman içermektedir: 1 endüktans, 2 kondansatör, 1 pasif direnç ve Chua diyodu olarak adlandırılan bir aktif direnç. Devrenin bu ilk haliyle zengin dinamikler üretmesine karşın literatürde 3 boyutlu bir dinamik sistemde karşılaşılabilecek bütün dinamikleri üretemediği fark edilince endüktansa seri bir direnç eklenmesiyle 6 elemanlı hali de türetilmiştir. Chua devresinin Chua osilatörü olarak adlandırılan bu yeni haliyle literatürde 3 boyutlu bir sistemde karşılaşılabilecek bütün dinamikleri ürettiği gösterilmiştir. Tezde de gerek ele alınan probleme adım adım yaklaşma imkanı verdiği için gerekse de üzerinde çok çalışıldığı için elde edilen sonuçları genelleştirme potansiyeli açısından Chua devresi ile çalışılmıştır.
Tarihsel akışa bakıldığında enerji temelli yöntemlerin klasik mekanikte daha etkin kullanıldığı görülür. Euler-Lagrange ve Hamilton denklemleri yazılırken önce genelleştirilmiş koordinatlar belirlenir. Ardından da problem genelleştirilmiş koordinatlardan bakarak ele alınır. Euler-Lagrange denklemleri için genelleştirilmiş konumları ve bu konumların türevleri olan genelleştirilmiş hızları içeren bir diferansiyel denklem takımı yazılır. Hamilton denklemleri için ise genelleştirilmiş konumlar ve genelleştirilmiş hızlar birbirleri cinsinden yazılarak bir diferansiyel denklem takımı elde edilir.
Klasik mekanikte genelleştirilmiş konum ve genelleştirilmiş hız tanımları nettir. Dolayısıyla kinetik ve potansiyel enerji kavramları da nettir. Elektrik devrelerinde ise durum farklıdır. Genelleştirilmiş konum ve genelleştirilmiş hızın hangi büyüklük olarak alınacağına göre kinetik enerji ve potansiyel enerji değişir.
Elektrik devrelerinin enerji formülasyonlarına bakıldığında literatürde iki yöntem öne çıkar. Bernstein-Lieberman denklemleri ve Chua-McPearson denklemleri.
Bernstein-Lieberman denklemleri sadece LC devreleri için kullanılabildiği için tezde Chua-McPearson denklemleri kullanılmıştır.
Bir elektrik devresinde enerji kavramı ile iş yapılmak istendiğinde karşımıza ilk olarak enerjinin hangi büyüklük olarak ele alınacağı sorusu çıkar. İlk akla gelen enerji depolayabilen elemanların toplam enerjisinin enerji olarak kullanılmasıdır. Literatürde karşılaşılan bir başka yöntem ise elektrik devresine ait diferansiyel denklemlerin Port Kontrollü Hamilton teoride ele alınmış olan yapılardan birine benzetilmesi ve enerjinin de buna göre tanımlanmasıdır. Bu iki şekilde oluşturulan enerji fonksiyonu gerekenden daha karmaşık olabilir. Şöyle ki:
Bir elektrik devresi en genel halde bir diferansiyel-cebrik denklem sistemi ile ifade edilebilir. Bir diferansiyel-cebrik denklem sisteminde diferansiyel denklemlerin bir kısmının ya da tamamının denklemlerden elenmesi durumunda daha basit diferansiyel denklemler ve daha basit bir enerji fonksiyonu ile çalışmak söz konusu olabilir.
Port Kontrollü Hamilton teori genel olarak kararlılaştırma ve buna çok benzeyen senkronizasyon için kullanılmaktadır. Bu amaçlar için kullanıldığında sorun yaratmayacak olan Hamiltonyanın kaos eldesi için kullanılmasında endişeler söz konusu olmuştur. Bu belirsizlikler sebebiyle tezde iki yöntemle Hamiltonyan elde edilmiş ve doğru bir Hamiltonyan ile çalışıldığından emin olunmuştur.
Chua devresinin enerji alış-verişine bakılacak olursa Chua diyotu devredeki enerji veren tek elemandır. Dolayısıyla Chua diyotu pasif direncin tükettiğinden fazlasını devreye verdiğinde dinamik elemanlarda enerji depolanır. Aksi halde ise dinamik elemanların mevcut enerjisi tüketilir. Tezde devrenin davranışını anlamak için devrenin Hamiltonyanındaki değişim incelenmiştir. Ortaya konan yaklaşım enerjinin yörüngeler boyunca izlenmesi ve enerjideki değişimin Chua devresinin farklı dinamikleri ile ilişkilendirilmesidir.
Hamiltonyan elde edildikten sonra Hamiltonyanınn nasıl değiştiğine bakılmıştır. Elde edilen sonuç Hamiltonyan’ın türevinin z’ye bağlı olmayıp, sadece x ve y’ye bağlı olmasıdır. Bu durum enerjinin artış ve azalışını x-y izdüşümü kullanılarak değerlendirmeyi mümkün kılmıştır.
Öncelikle bu sonucun neden oluştuğunu ele almak iyi olacaktır. Chua devresi bir LC tank devresi içermektedir ve bu LC tank devresinin diğer enerji depolayabilen elemanla direkt bir ilişkisi yoktur. Tek ilişki pasif direncin uç denklemi üzerinden oluşmaktadır. İşte Chua devresindeki bu topolojinin bir sonucu olarak Hamiltonyanın türevi sadece kondansatörler üzerindeki gerilime bağlıdır.
Chua diyodu 3 parçalı, parça-parça doğrusal karakteristliğe sahiptir. Tezde amaç spiral tipi kaos oluşumunu gözlemek olduğu için basitlik açısından 2-parçalı karakteristliğe sahip Chua diyodu ile çalışılmıştır.
Hamiltonyanın türevi sıfıra eşitlenmiş ve enerjinin arttığı ve azaldığı bölgeleri birbirinden ayıran alt-uzay denklemleri elde edilmiştir. Böylece sistemin hangi bölgelerde enerji aldığı, hangi bölgelerde de kaybettiği belirlenmiştir.
Devre bir LC devresi olsaydı ilk koşullarına bağlı olarak periyodik çözüm üretecek ve kayıpsız davranış sergileyecekti.
Paralel LCR devresi olsaydı R direnci pasif ise devre durmaksızın enerji kaybederdi, aktif ise de durmaksızın enerji kazanırdı. Bu durumda çözüm direncin aktif ya da pasif olmasına göre ya sıfıra ya da sonsuza gider.
Chua devresinde Chua diyodu doğrusal olduğunda gözlenecek dinamikler LCR devresi için yapılan bu yorumlara benzerdir. Devrede bu durum için inceleme yapılmış ve benzer sonuçlar elde edilmiştir.
Chua devresinde özdeğerler her bölgede bir reel, bir kompleks çift şeklinde alınmıştır. Literatürde karşılaşılan Chua devresi parametreleri için istisnalar dışında daima orta ve dış bölgeler için bir reel özdeğer ve bir kompleks eşlenik özdeğer çifti hali söz konusudur. Shilnikov teoreminin koşullarından birinin homoklinik yörüngenin denge noktasında sistemin bir reel özdeğere ve bir kompleks eşlenik özdeğer çiftine sahip olması ve Chua devresi ile olan çalışmalarda yazarların amacının kaos elde etmek olduğu düşünülürse literatürde karşılaşılan bu durum anlamlı olacaktır.
Chua diyodunun doğrusal olması için inceleme yapıldıktan sonra 2 kırıklı, parça parça doğrusal Chua diyodu için devrenin incelenmesine geçilmiştir. Bu analiz için geçici çözümler atılmıştır. Dallanma parametresi α’nın değeri sabitlenmiştir. Dallanma parametreleri a ve b’nin değerleri, üst ve alt bölgeler için sistemlerin bir reel özdeğeri ve bir kompleks eşlenik özdeğer çifti olacak şekilde seçilmiştir. Başlangıç noktaları çözümler kararsız özvektörün etkisi altında sonsuza gitmeyecek şekilde seçilmiştir. İncelemelerde β parametresi taranmıştır.
İlk parametre takımı için kararsız limit çevrim davranışı gözlemlenmiştir. β parametresi arttırıldıkça sistemde önce ıraksak çözüm, ardından kararsız limit çevrim, ardından da yakınsak çözüm gözlemlenmiştir.
İkinci parametre takımı olarak ilk parametre takımında a ve b parametrelerinin değerleri birbirleriyle değiştirilmiştir. Her ne kadar bu değişiklik ile kararlı limit çevrim eldesi ümit edilmiş olsa da bu gerçekleşmemiştir. Sebebini anlamak için sistemin Chua diyodunun kırıklarına göre her bir bölgedeki enerji alış verişi incelenmiştir. Yapılan gözlem alt ve üst bölgelerde doğru enerji alış verişinin sağlanmadığı olmuştur. Yapılan çıkarım aşağıdaki gibidir:
Chua devresinde bir merkez çevresinde kararlı ya da kararsız limit çevrim oluşturulacaksa hem iç bölge ve dış bölgede; hem de üst ve alt bölgede doğru enerji ilişkileri kurulmalıdır
Üçüncü parametre takımı seçilirken bu hususlar gözetilmiş ve kararlı bir limit çevrim eldesi başarılmıştır.
Bu üç parametre takımında da β parametresi arttırılırken kararsız çözümden kararlı çözüme gidiş gözlenmiştir. Orta değerlerde ise limit çevrim davranışı gözlenmiştir.
Bir başka parametre takımı ile inceleme yapıldığında peryot katlaması ile kaos dinamiği gözlenmiştir. Bu dinamik gözlendiğinde de benzer olarak β parametresi arttırılırken kararsız çözümden kararlı çözüme gidiş gözlenmiştir. Kararlı çözümle yola çıkılmış, ardından bir kararlı limit çevrim gözlenmiştir. Ardından kararlı limit çevim iç bölgesi ile dış bölgesi arasında bir girişim oluşmuş, enerji alan ve veren yörüngeler birbirlerini kesmeye başlamıştır. Bu peryot katlaması ile kaos dinemiğini getirmiştir. Ardından da ıraksak çözüm gözlenmiştir.
Bir yan sonuç olarak garip çekicinin içinde kararlı ya da kararsız çözümlerin gözlendiği haller olmuştur. İç bölge sistem dinamiğine belirleyici bir etki yapmamıştır.
Bu gözlemden de bir yan sonuç çıkarılmış ve yörüngenin iç-bölgeye girdiğinde daima bu bölgede kalmaması için iç-bölgenin enerji kazanan davranış göstermesinin daha dayanıklı kaos eldesi açısından önemli olduğu not edilmiştir. Bu da ana amacımız dışında elde edilen önemli bir ilave sonuç olmuştur.